6. На координатной плоскости построить прямоугольник АВСМ, где A(3;5); B(3;-3). Найти координаты остальных вершин прямоугольника, если длина АВ составляет 8/5 от СВ. Найти координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. Рассмотреть разные случаи.

Пошаговое решение:

Случай 1: AB и CB - смежные стороны (AB перпендикулярна CB)

1. Шаг 1: Находим длину стороны AB.
   \( AB = \sqrt{(3-3)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + (5+3)^2} = \sqrt{8^2} = 8 \)
2. Шаг 2: Находим длину стороны CB, используя условие \( AB = \frac{8}{5} CB \).
   \( 8 = \frac{8}{5} CB \)
   \( CB = 8 · \frac{5}{8} = 5 \)
3. Шаг 3: Определяем координаты вершины C. Так как AB - вертикальный отрезок (x-координаты одинаковы), то CB - горизонтальный отрезок. Координата y у B равна -3. Длина CB равна 5. Возможные координаты C: (3+5, -3) = (8, -3) или (3-5, -3) = (-2, -3).
4. Шаг 4: Определяем координаты вершины M.
   Если C=(8, -3), то M = (x_A + x_C - x_B, y_A + y_C - y_B) = (3 + 8 - 3, 5 + (-3) - (-3)) = (8, 5).
   Если C=(-2, -3), то M = (x_A + x_C - x_B, y_A + y_C - y_B) = (3 + (-2) - 3, 5 + (-3) - (-3)) = (-2, 5).
5. Шаг 5: Находим координаты точки пересечения диагоналей (середина диагонали AC или BD).
   Если C=(8, -3), M=(8, 5):
   Середина AC: \( \left( \frac{3+8}{2}, \frac{5+(-3)}{2} \right) = \left( \frac{11}{2}, \frac{2}{2} \right) = (5.5, 1) \)
   Середина BD: \( \left( \frac{3+8}{2}, \frac{-3+5}{2} \right) = \left( \frac{11}{2}, \frac{2}{2} \right) = (5.5, 1) \)
   Если C=(-2, -3), M=(-2, 5):
   Середина AC: \( \left( \frac{3+(-2)}{2}, \frac{5+(-3)}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{2} \right) = (0.5, 1) \)
   Середина BD: \( \left( \frac{3+(-2)}{2}, \frac{-3+5}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{2} \right) = (0.5, 1) \)

Случай 2: AB и CB - диагонали

1. Шаг 1: AB является диагональю. По условию, AB = 8/5 CB. Длина AB = 8. Тогда \( CB = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5 \). CB - диагональ.
   Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам.
2. Шаг 2: Находим середину AB (точку пересечения диагоналей).
   \( x = \frac{3+3}{2} = 3 \)
   \( y = \frac{5+(-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
   Точка пересечения диагоналей: (3, 1).
3. Шаг 3: Находим координаты вершин C и M.
   Пусть точка пересечения диагоналей - O(3, 1).
   CB - диагональ, ее длина 5. C и B - противоположные вершины. O - середина CB.
   \( 3 = \frac{x_C+3}{2} \Rightarrow 6 = x_C+3 \Rightarrow x_C = 3 \)
   \( 1 = \frac{y_C+(-3)}{2} \Rightarrow 2 = y_C-3 \Rightarrow y_C = 5 \).
   Получаем C(3, 5), что совпадает с A. Это означает, что AB и CB не могут быть диагоналями в этом случае, т.к. они бы наложились друг на друга.

Случай 3: AB - диагональ, CB - сторона

1. Шаг 1: AB - диагональ. Длина AB = 8. CB - сторона, длина CB = 5.
2. Шаг 2: AB и CB - смежные стороны, как в Случае 1.

Случай 4: CB - диагональ, AB - сторона

1. Шаг 1: CB - диагональ. Длина CB = 5. AB - сторона. Длина AB = 8.
2. Шаг 2: AB и CB - смежные стороны, как в Случае 1.

Ответ:

Случай 1:

• Если C=(8, -3), то M=(8, 5). Точка пересечения диагоналей: (5.5, 1).
• Если C=(-2, -3), то M=(-2, 5). Точка пересечения диагоналей: (0.5, 1).

Другие случаи невозможны, так как прямоугольник не может иметь две совпадающие вершины или сторону, равную диагонали.