6. На рисунке \(AK=KB\), \(AM=4\), \(MC=6\). Найти: \(KN:NC\).

Точка K — середина AB, поэтому в треугольнике ABC прямая через K и C делит сторону BM в отношении, которое можно найти по координатам. Возьмём \(A=(0,0)\), \(C=(10,0)\), \(B=(0,2)\). Тогда \(K=(0,1)\), а из \(AM=4\) следует \(M=(4,0)\).

Пусть N — пересечение KC и BM. На KC точка имеет вид \((10t,1-t)\), а на BM — \((4s,2-2s)\). Приравнивая координаты, получаем \(10t=4s\) и \(1-t=2-2s\). Отсюда \(t=\dfrac14\).

Значит, \(KN:NC=t:(1-t)=\dfrac14:\dfrac34=1:3\).

Ответ: \(KN:NC=1:3\).