6. Найдите нули функции f(x) = 3tg(x-π/9) + √3.

Решение:

Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию к нулю:

\( f(x) = 0 \)

\( 3\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{9}\right) + \sqrt{3} = 0 \)

\( 3\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{9}\right) = -\sqrt{3} \)

\( \operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{9}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Известно, что \( \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Период тангенса равен \( \pi \).

\( x-\frac{\pi}{9} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

\( x = \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{6} + \pi k \)

Приведем дроби к общему знаменателю (18):

\( x = \frac{2\pi}{18} - \frac{3\pi}{18} + \pi k \)

\( x = -\frac{\pi}{18} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{18} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).