7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг меньшего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 4√6 см, и углом 60°.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AB = 4\sqrt{6} \) см — гипотенуза, и \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 30^{\circ} \).

При вращении вокруг меньшего катета (который является стороной, прилежащей к большему острому углу, т.е. катет BC), образуется конус.

1. Найдём длины катетов:

• Катет, противолежащий углу 60° (катет BC), равен:

\( BC = AB \sin(60^{\circ}) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.

• Катет, прилежащий к углу 60° (катет AC), равен:

\( AC = AB \cos(60^{\circ}) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{6} \) см.

Меньшим катетом является \( AC = 2\sqrt{6} \) см, так как \( 2\sqrt{6} < 6\sqrt{2} \) (так как \( 2\sqrt{6} = \sqrt{24} \) и \( 6\sqrt{2} = \sqrt{72} \)).

2. Определим параметры конуса:

При вращении вокруг катета \( AC \) (меньшего катета):

• Высота конуса \( h = AC = 2\sqrt{6} \) см.
• Радиус основания конуса \( R = BC = 6\sqrt{2} \) см.

3. Вычислим объем конуса:

Объем конуса находится по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \).

\( V = \frac{1}{3}\pi (6\sqrt{2})^2 (2\sqrt{6}) \)
\( V = \frac{1}{3}\pi (36 \cdot 2) (2\sqrt{6}) \)
\( V = \frac{1}{3}\pi (72) (2\sqrt{6}) \)
\( V = 24\pi (2\sqrt{6}) \)
\( V = 48\pi\sqrt{6} \) куб. см.

Ответ: \( 48\pi\sqrt{6} \) см³