8. Функция задана формулой f (x) = 3x - x^2 - x^3/3. Решите неравенство f'(x)>0.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) \).

\( f(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \)

Производная \( f'(x) \) находится по правилам дифференцирования:

\( f'(x) = (3x)' - (x^2)' - \left(\frac{x^3}{3}\right)' \)
\( f'(x) = 3 - 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 \)
\( f'(x) = 3 - 2x - x^2 \)

Теперь решим неравенство \( f'(x) > 0 \):

\( -x^2 - 2x + 3 > 0 \)

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

\( x^2 + 2x - 3 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).

Квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x - 3 \) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Он меньше нуля между корнями.

Значит, \( -3 < x < 1 \).

Ответ: \( (-3; 1) \)