9. Найдите все корни уравнения 3⋅4^x + 6^x - 2⋅9^x = 0.

Решение:

Дано уравнение: \( 3 · 4^x + 6^x - 2 · 9^x = 0 \)

Перепишем основания степеней:

\( 3 · (2^2)^x + (2 · 3)^x - 2 · (3^2)^x = 0 \)

\( 3 · (2^x)^2 + 2^x · 3^x - 2 · (3^x)^2 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( (3^x)^2 \) (так как \( 3^x \) не равно 0).

\( 3 · \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x · 3^x}{(3^x)^2} - 2 = 0 \)

\( 3 · \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0 \)

Пусть \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 3y^2 + y - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 3 · (-2) = 1 + 24 = 25 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 · 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 · 3} = \frac{-6}{6} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \).

1. \( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \)

Отсюда \( x = 1 \).

1. \( \left(\frac{2}{3}\right)^x = -1 \)

Это уравнение не имеет решений, так как степень положительного числа всегда положительна.

Ответ: \( x = 1 \).