6. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции y = x³-3x.

Привет! Давай разберемся с монотонностью и экстремумами функции. Для этого нам понадобится производная!

Шаг 1: Найдем производную функции.

Дана функция $$y = x^3 - 3x$$. Найдем ее производную $$y'$$:

$$y' = (x^3 - 3x)' = (x^3)' - (3x)' = 3x^2 - 3$$.

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю.

Это критические точки, где функция может менять свое направление (возрастать или убывать) или иметь экстремумы.

$$y' = 0 ⇒ 3x^2 - 3 = 0$$

$$3x^2 = 3$$

$$x^2 = 1$$

$$x = ±1$$

Значит, критические точки: $$x = -1$$ и $$x = 1$$.

Шаг 3: Определим промежутки монотонности.

Эти критические точки делят числовую прямую на три интервала: $$(-∞, -1)$$, $$(-1, 1)$$ и $$(1, +∞)$$. Нам нужно проверить знак производной на каждом из этих интервалов.

• Интервал $$(-∞, -1)$$: Возьмем, например, $$x = -2$$.
• $$y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$$.
• Производная положительная ($$y' > 0$$), значит, на этом интервале функция возрастает.
• Интервал $$(-1, 1)$$: Возьмем, например, $$x = 0$$.
• $$y'(0) = 3(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$$.
• Производная отрицательная ($$y' < 0$$), значит, на этом интервале функция убывает.
• Интервал $$(1, +∞)$$: Возьмем, например, $$x = 2$$.
• $$y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$$.
• Производная положительная ($$y' > 0$$), значит, на этом интервале функция возрастает.

Шаг 4: Найдем точки экстремума.

Экстремум (минимум или максимум) достигается в критической точке, если на ней производная меняет знак.

• В точке $$x = -1$$: производная меняет знак с плюса на минус ($$+$$ → $$-$$). Это означает, что в точке $$x = -1$$ достигается максимум.
• В точке $$x = 1$$: производная меняет знак с минуса на плюс ($$-$$ → $$+$$). Это означает, что в точке $$x = 1$$ достигается минимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• Максимум: $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$. Точка максимума: $$(-1, 2)$$.
• Минимум: $$y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$$. Точка минимума: $$(1, -2)$$.

Итог:

• Промежутки возрастания: $$(-∞, -1]$$ и $$[1, +∞)$$.
• Промежутки убывания: $$[-1, 1]$$.
• Точка максимума: $$(-1, 2)$$.
• Точка минимума: $$(1, -2)$$.

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на $$(-∞, -1]$$ и $$[1, +∞)$$, убывает на $$[-1, 1]$$.
• Точки экстремума: максимум в точке $$(-1, 2)$$, минимум в точке $$(1, -2)$$.