8. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √x+3х в точке с абсциссой x₀ = 1.

Привет! Чтобы составить уравнение касательной к графику функции, нам понадобится формула: $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$.

У нас есть:

• Функция: $$f(x) = √{x} + 3x$$
• Точка касания по абсциссе: $$x_0 = 1$$

Шаг 1: Найдем значение функции в точке $$x_0 = 1$$.

$$f(1) = √{1} + 3 · 1 = 1 + 3 = 4$$.

Значит, точка касания имеет координаты $$(1, 4)$$.

Шаг 2: Найдем производную функции $$f(x)$$.

Сначала преобразуем корень: $$f(x) = x^{1/2} + 3x$$.

Теперь найдем производную $$f'(x)$$:

$$f'(x) = (x^{1/2} + 3x)' = (x^{1/2})' + (3x)'$$

$$f'(x) = rac{1}{2}x^{1/2 - 1} + 3$$

$$f'(x) = rac{1}{2}x^{-1/2} + 3$$

$$f'(x) = rac{1}{2√{x}} + 3$$

Шаг 3: Найдем значение производной в точке $$x_0 = 1$$.

Это будет тангенс угла наклона касательной.

$$f'(1) = rac{1}{2√{1}} + 3 = rac{1}{2 · 1} + 3 = rac{1}{2} + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной.

Подставляем найденные значения в формулу $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$:

$$y = 4 + 3.5(x - 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 4 + 3.5x - 3.5$$

$$y = 3.5x + 0.5$$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $$f(x) = √{x} + 3x$$ в точке с абсциссой $$x_0 = 1$$ имеет вид $$y = 3.5x + 0.5$$.