7. Найдите наименьшее значение функции y = x³ + x² на отрезке [-0,5; 1].

Привет! Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нам нужно выполнить несколько шагов. Нам понадобится производная!

Шаг 1: Находим производную функции.

Дана функция $$y = x^3 + x^2$$. Найдем ее производную $$y'$$:

$$y' = (x^3 + x^2)' = (x^3)' + (x^2)' = 3x^2 + 2x$$

Шаг 2: Находим критические точки внутри отрезка.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

$$y' = 0 ⇒ 3x^2 + 2x = 0$$

Выносим $$x$$ за скобки:

$$x(3x + 2) = 0$$

Отсюда получаем два возможных значения для $$x$$:

$$x = 0$$ или $$3x + 2 = 0 ⇒ 3x = -2 ⇒ x = -rac{2}{3}$$

Теперь проверяем, попадают ли эти точки в заданный отрезок $$[-0.5; 1]$$.

• $$x = 0$$: Эта точка лежит внутри отрезка $$[-0.5; 1]$$.
• $$x = -rac{2}{3}$$: Переведем в десятичную дробь: $$-rac{2}{3} ≈ -0.667$$. Эта точка не лежит внутри отрезка $$[-0.5; 1]$$, так как $$-0.667 < -0.5$$.

Значит, единственная критическая точка внутри отрезка — это $$x = 0$$.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Нам нужно посчитать значения $$y$$ для $$x = -0.5$$, $$x = 0$$ и $$x = 1$$.

• При $$x = -0.5$$ (или $$-rac{1}{2}$$):
• $$y(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5)^2 = -0.125 + 0.25 = 0.125$$
• При $$x = 0$$:
• $$y(0) = (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0$$
• При $$x = 1$$:
• $$y(1) = (1)^3 + (1)^2 = 1 + 1 = 2$$

Шаг 4: Определяем наименьшее значение.

Сравниваем полученные значения: $$0.125$$, $$0$$ и $$2$$.

Наименьшее из этих значений — $$0$$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $$[-0.5; 1]$$ равно 0.