6. Найдите все цифры m и n, при которых четырёхзначное число m7n0 делится на 45. Обоснуйте ответ, используя признаки делимости на 5 и на 9.

Последняя цифра числа m7n0 равна 0, поэтому оно делится на 5. Для делимости на 45 необходимо также деление на 9, поскольку 45 = 5 · 9.

Сумма цифр равна m + 7 + n + 0 = m + n + 7. Она должна делиться на 9. Так как число четырёхзначное, m — цифра от 1 до 9; n — от 0 до 9. Сумма m + n + 7 лежит от 8 до 25, поэтому возможны значения 9, 18 или 27.

Отсюда m + n = 2, 11 или 20. Перечисляя допустимые цифры, получаем пары (m; n):

• при сумме 2: (1; 1), (2; 0);
• при сумме 11: (2; 9), (3; 8), (4; 7), (5; 6), (6; 5), (7; 4), (8; 3), (9; 2);
• при сумме 20: (m; n) = (11; 9) невозможно, поскольку m не цифра.

Ответ: (1; 1), (2; 0), (2; 9), (3; 8), (4; 7), (5; 6), (6; 5), (7; 4), (8; 3), (9; 2).