6. Найдите значение выражения: x² ---------- : x x²+ 2xy x² - 4y² при x = 4-2√5, y = 8-√5

Решение:

1. Сначала упростим алгебраическое выражение:
• Первая дробь:
  \[ \frac{x^2}{x^2 + 2xy} = \frac{x^2}{x(x + 2y)} = \frac{x}{x + 2y} \]
• Вторая дробь:
  \[ \frac{x}{x^2 - 4y^2} = \frac{x}{(x - 2y)(x + 2y)} \]
• Теперь выполним деление дробей (умножение на перевернутую вторую дробь):
  \[ \frac{x}{x + 2y} : \frac{x}{(x - 2y)(x + 2y)} = \frac{x}{x + 2y} \times \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{x} \]
• Сократим x и (x + 2y):
  \[ \frac{\cancel{x}}{\cancel{x + 2y}} \times \frac{(x - 2y)\cancel{(x + 2y)}}{\cancel{x}} = x - 2y \]
• Теперь подставим значения x и y:
  \[ x = 4 - 2\sqrt{5} \]
  \[ y = 8 - \sqrt{5} \]
• Подставим в упрощенное выражение `x - 2y`:
  \[ (4 - 2\sqrt{5}) - 2(8 - \sqrt{5}) \]
• Раскроем скобки:
  \[ 4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5} \]
• Приведем подобные слагаемые:
  \[ (4 - 16) + (-2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = -12 + 0 = -12 \]

Ответ: -12