6. Найти производные данных функций: а) y = √((1 + x²)/(1 − x²)); б) y = ½ tg²x + ln cos x.

а) Обозначим выражение под корнем через дробь и применим правило производной сложной функции:

y′ = ½((1 + x²)/(1 − x²))^−1/2 · ((2x(1 − x²) + 2x(1 + x²))/(1 − x²)²).

После упрощения получаем y′ = 2x/((1 − x²)²√((1 + x²)/(1 − x²))) = 2x/((1 − x²)^3/2√(1 + x²)). Производная записана на области определения функции |x| < 1.

б) Используем производные tan x и ln cos x:

y′ = tan x · sec²x − tan x = tan x(sec²x − 1) = tan³x.

Ответ: а) y′ = 2x/((1 − x²)^3/2√(1 + x²)); б) y′ = tg³x.