7. Исследовать на наличие точек перегиба функцию y = ¼x⁴ − 2x³ + 1.

Найдём вторую производную, знак которой определяет выпуклость графика:

y′ = x³ − 6x²; y″ = 3x² − 12x = 3x(x − 4).

Вторая производная обращается в ноль при x = 0 и x = 4. При x < 0 она положительна; при 0 < x < 4 отрицательна; при x > 4 положительна. В обеих точках знак y″ меняется, следовательно, обе являются точками перегиба.

Найдём координаты: y(0) = 1; y(4) = ¼ · 4⁴ − 2 · 4³ + 1 = 64 − 128 + 1 = −63.

Ответ: точки перегиба — (0; 1) и (4; −63).