6. Найти все значения a, при которых уравнение (x² − 2ax + 3)/(x − 2) = 0 имеет единственный корень.

1. Уравнение определено при \(x\ne2\). Его корни — корни числителя \(x^2-2ax+3=0\), кроме значения \(x=2\), если оно обращает числитель в ноль.
2. Дискриминант числителя: \(D=4a^2-12=4(a^2-3)\). При \(D=0\) имеется один корень \(x=a\); это даёт \(a=\pm\sqrt3\). Эти корни допустимы, поскольку \(a\ne2\).
3. При \(D>0\) обычно получаются два различных корня. Ровно один исключается из-за знаменателя, если \(x=2\) является корнем числителя: \(2^2-2a\cdot2+3=0\), откуда \(7-4a=0\) и \(a=\frac74\). Тогда второй корень допустим.
4. Других случаев с единственным допустимым корнем нет.

Ответ: \(a=-\sqrt3,\ \sqrt3,\ \frac74\).