№6. Отрезок ВК — биссектриса ∆ABC, изображенного на рисунке. ∠A = 24°; ∠BKC = 80°. Найти градусную меру ∠C.

Решение:

В ∆ABC \( ∠A = 24^° \). ВК — биссектриса, значит, делит \( ∠B \) пополам.

Рассмотрим ∆BKC. Сумма углов в нем равна \( 180^° \):

\( ∠BKC + ∠KBC + ∠C = 180^° \)

\( 80^° + ∠KBC + ∠C = 180^° \)

\( ∠KBC + ∠C = 180^° - 80^° \)

\( ∠KBC + ∠C = 100^° \)

Так как \( ∠KBC = ∠ABC / 2 \), то \( ∠ABC = 2 ∠KBC \).

В ∆ABC: \( ∠A + ∠ABC + ∠C = 180^° \)

\( 24^° + 2 ∠KBC + ∠C = 180^° \)

\( 2 ∠KBC + ∠C = 180^° - 24^° \)

\( 2 ∠KBC + ∠C = 156^° \)

У нас есть система уравнений:

1. \( ∠KBC + ∠C = 100^° \)
2. \( 2 ∠KBC + ∠C = 156^° \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (2 ∠KBC + ∠C) - (∠KBC + ∠C) = 156^° - 100^° \)

\( ∠KBC = 56^° \)

Теперь найдем \( ∠C \) из первого уравнения:

\( 56^° + ∠C = 100^° \)

\( ∠C = 100^° - 56^° \)

\( ∠C = 44^° \)

Ответ: 44°