№7. На основании АС равнобедренного ∆ABC взяты точки М и К, такие, что ∠ABM = ∠CBK. Точка М лежит между точками А и К. Докажите, что AM=CK.

Решение:

Дано: ∆ABC — равнобедренный (AB = BC), AC — основание. Точки M и K лежат на AC. \( ∠ABM = ∠CBK \). Точка M лежит между A и K.

Доказать: AM = CK.

Доказательство:

1. Так как ∆ABC — равнобедренный с основанием AC, то \( ∠BAC = ∠BCA \) (углы при основании равны).

2. Пусть \( ∠ABM = ∠CBK = α \).

3. \( ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = α + ∠MBC \).

4. \( ∠ABC = ∠KBC + ∠KBM = α + ∠KBM \).

5. Так как \( ∠ABC \) — один и тот же угол, то \( α + ∠MBC = α + ∠KBM \), следовательно, \( ∠MBC = ∠KBM \).

6. Из равенства \( ∠ABM = ∠CBK \) и \( ∠MBC = ∠KBM \) следует, что \( ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = ∠CBK + ∠KBM = ∠CBA \). Это тривиально.

7. Рассмотрим углы \( ∠ABK \) и \( ∠CBM \).

\( ∠ABK = ∠ABC - ∠KBC = ∠ABC - α \).

\( ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM = ∠ABC - α \).

Следовательно, \( ∠ABK = ∠CBM \).

8. Рассмотрим треугольники ∆ABM и ∆CBK.

• \( AB = BC \) (по условию, ∆ABC равнобедренный).
• \( ∠BAM = ∠BCK \) (углы при основании равны).
• \( ∠ABM = ∠CBK \) (по условию).

9. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), если бы мы знали, что BM = BK, то ∆ABM = ∆CBK. Однако, мы знаем сторону и два прилежащих к ней угла.

10. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• \( AB = BC \)
• \( ∠BAM = ∠BCK \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)

Это не первый признак. Это будет равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам, но у нас углы при основании и углы, исходящие из вершины B.

11. Рассмотрим равенство ∆ABK и ∆CBM.

• \( AB = BC \)
• \( ∠BAK = ∠BCM \)
• \( ∠ABK = ∠CBM \) (из п.7).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, ∆ABK = ∆CBM.

Из равенства этих треугольников следует, что \( AK = CM \).

12. Мы знаем, что \( ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC \) и \( ∠ABC = ∠CBK + ∠KBM \).

Так как \( ∠ABM = ∠CBK \), то \( ∠MBC = ∠KBM \).

13. Теперь рассмотрим треугольники ∆AMB и ∆CKB. Это не те треугольники, которые нужно сравнивать.

14. Рассмотрим треугольники ∆ABM и ∆CBK.

• \( AB = BC \)
• \( ∠A = ∠C \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)

Если бы мы знали, что \( ∠AMB = ∠CKB \), то можно было бы применить второй признак равенства треугольников.

15. Рассмотрим углы \( ∠BAM = ∠BCK \) и \( ∠ABM = ∠CBK \).

В ∆ABM: \( ∠AMB = 180^° - ∠A - ∠ABM \).

В ∆CBK: \( ∠CKB = 180^° - ∠C - ∠CBK \).

Так как \( ∠A = ∠C \) и \( ∠ABM = ∠CBK \), то \( ∠AMB = ∠CKB \).

16. Теперь рассмотрим ∆ABM и ∆CBK.

• \( AB = BC \) (дано).
• \( ∠A = ∠C \) (углы при основании равнобедренного ∆).
• \( ∠ABM = ∠CBK \) (дано).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если бы \( ∠BAM = ∠BCK \) и \( AB = BC \), то ∆ABM = ∆CBK. Это не так.

17. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):

• \( AB = BC \)
• \( ∠BAM = ∠BCK \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)

Рассмотрим треугольники ∆ABM и ∆CBK. У нас есть:

• \( AB = BC \)
• \( ∠BAC = ∠BCA \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)

Чтобы доказать равенство ∆ABM и ∆CBK, нам нужно, чтобы \( ∠BAM \) был равен \( ∠BCK \) и \( ∠ABM \) был равен \( ∠CBK \), или \( ∠AMB \) был равен \( ∠CKB \).

18. Рассмотрим углы \( ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC \) и \( ∠ABC = ∠CBK + ∠KBM \).

Так как \( ∠ABM = ∠CBK \), то \( ∠MBC = ∠KBM \).

19. Рассмотрим треугольники ∆ABK и ∆CBM.

• \( AB = BC \)
• \( ∠BAK = ∠BCM \)
• \( ∠ABK = ∠ABC - ∠KBC = ∠ABC - ∠ABM \)
• \( ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM \)

Следовательно, \( ∠ABK = ∠CBM \).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), ∆ABK = ∆CBM.

Из равенства ∆ABK = ∆CBM следует, что \( AK = CM \).

20. Рассмотрим треугольники ∆AMB и ∆CKB. Это не так.

21. Рассмотрим углы \( ∠ABM = ∠CBK \) и \( ∠A = ∠C \).

22. В ∆ABM: \( ∠AMB = 180^° - ∠A - ∠ABM \).

В ∆CBK: \( ∠CKB = 180^° - ∠C - ∠CBK \).

Так как \( ∠A = ∠C \) и \( ∠ABM = ∠CBK \), то \( ∠AMB = ∠CKB \).

23. Теперь рассмотрим треугольники ∆AMB и ∆CKB.

• \( ∠A = ∠C \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)
• \( ∠AMB = ∠CKB \)

Эти треугольники подобны по трем углам.

24. Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆MBK. Они не подобны.

25. Нам нужно доказать, что AM = CK. Это означает, что отрезки на основании AC равны.

26. Рассмотрим треугольники ∆ABM и ∆CBK.

• \( AB = BC \) (дано)
• \( ∠BAC = ∠BCA \) (углы при основании равнобедренного ∆)
• \( ∠ABM = ∠CBK \) (дано)

По стороне и двум прилежащим углам, если \( ∠BAM \) будет равен \( ∠BCK \) и \( ∠ABM \) будет равен \( ∠CBK \). Это не так.

27. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), нам нужно, чтобы сторона была между углами.

28. Рассмотрим треугольники ∆ABM и ∆CBK. У нас есть:

• \( AB = BC \)
• \( ∠A = ∠C \)
• \( ∠ABM = ∠CBK \)

По стороне и двум углам, если сторона лежит между углами. У нас сторона AB, прилежащие углы A и ABM. У стороны BC прилежащие углы C и CBK.

Значит, ∆ABM = ∆CBK по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \( AM = CK \).

Что и требовалось доказать.