Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( S_1 \) — начальная площадь поверхности, \( S_2 \) — новая площадь поверхности.
Пусть \( a_1 \) — начальная сторона основания, \( h_1 \) — начальная высота призмы.
Площадь поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности: \( S = 2S_{осн} + S_{бок} \).
Для правильной треугольной призмы:
\( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3a) \cdot h \)
\( S_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 + 3a_1 h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} a_1^2 + 3a_1 h_1 = 5 \).
Если все ребра увеличить в три раза, то новые размеры будут:
\( a_2 = 3a_1 \)
\( h_2 = 3h_1 \)
Новая площадь поверхности:
\( S_2 = 2S_{осн2} + S_{бок2} \)
\( S_{осн2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (3a_1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} 9a_1^2 = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = 9S_{осн1} \)
\( S_{бок2} = P_{осн2} \cdot h_2 = (3a_2) \cdot h_2 = (3 \cdot 3a_1) \cdot (3h_1) = 9 \cdot (3a_1 h_1) = 9S_{бок1} \)
\( S_2 = 2 \cdot (9S_{осн1}) + 9S_{бок1} = 18S_{осн1} + 9S_{бок1} \)
Этот подход неверен, так как \( S_{осн1} \) и \( S_{бок1} \) не равны.
Рассмотрим масштабный коэффициент.
При увеличении линейных размеров в \( k \) раз, площадь поверхности увеличивается в \( k^2 \) раз.
Здесь \( k = 3 \).
\( S_2 = S_1 \cdot k^2 \)
\( S_2 = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45 \).
Ответ: 45.
