8. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 5 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 7. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_{осн} \cdot H \), где \( H \) — высота параллелепипеда.

Основанием является ромб со стороной \( a = 5 \) и острым углом \( \alpha = 45^\circ \).

Площадь ромба: \( S_{осн} = a^2 \sin \alpha = 5^2 \sin 45^\circ = 25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2} \).

Далее, одно из ребер параллелепипеда равно \( l = 7 \) и составляет с плоскостью основания угол \( \beta = 45^\circ \).

Высота параллелепипеда \( H \) связана с длиной бокового ребра \( l \) и углом \( \beta \) формулой: \( H = l \sin \beta \).

\( H = 7 \sin 45^\circ = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \).

Теперь найдем объем параллелепипеда:

\( V = S_{осн} \cdot H = \frac{25\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} = \frac{25 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{25 \cdot 7 \cdot 2}{4} = \frac{25 \cdot 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5 \).

Ответ: 87.5.