6. Представьте в виде многочлена: (2х - 1)⁴

Решение:

Чтобы представить выражение (2х - 1)⁴ в виде многочлена, нам понадобится формула бинома Ньютона для n=4. Или можно возвести в квадрат дважды:

(2х - 1)⁴ = ((2х - 1)²)²

Сначала раскроем внутренний квадрат (2х - 1)² по формуле квадрата разности (a - b)² = a² - 2ab + b², где a = 2х и b = 1:

(2х - 1)² = (2х)² - 2 * (2х) * 1 + 1² = 4х² - 4х + 1

Теперь возведем полученный многочлен в квадрат:

(4х² - 4х + 1)²

Это квадрат трехчлена. Формула квадрата трехчлена: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Но здесь у нас (a - b + c)², где a = 4х², b = 4х (берем с минусом, как будто это (a + (-b) + c)²) и c = 1:

(4х² - 4х + 1)² = (4х²)² + (-4х)² + 1² + 2 * (4х²) * (-4х) + 2 * (4х²) * 1 + 2 * (-4х) * 1

Рассчитаем каждый член:

(4х²)² = 16х⁴

(-4х)² = 16х²

1² = 1

2 * (4х²) * (-4х) = 2 * (-16х³) = -32х³

2 * (4х²) * 1 = 8х²

2 * (-4х) * 1 = -8х

Теперь сложим все части, приведя подобные слагаемые:

16х⁴ - 32х³ + (16х² + 8х²) + (-8х) + 1

16х⁴ - 32х³ + 24х² - 8х + 1

Ответ: 16х⁴ - 32х³ + 24х² - 8х + 1