6. При игре в преферанс каждому из трёх игроков раздаётся по 10 карт из колоды в 32 карты (ещё две остаются на столе). Сколькими способами можно а) раздать карты этим трём игрокам; б) раздать карты так, чтобы у одного из них было ровно 2 туза и две «семёрки»; в) раздать карты так, чтобы у каждого игрока был хотя бы один туз?

Считаем игроков различимыми, карты в руке не упорядочены, а две карты на столе образуют отдельную неупорядоченную группу.

а) Разбиваем 32 различные карты на три группы по 10 и одну группу из 2 карт:

\(\dfrac{32!}{(10!)^3\,2!}\).

б) Сначала считаем раздачи, в которых условие выполняется у указанного игрока. Он получает 2 из 4 тузов, 2 из 4 семёрок и ещё 6 карт из 24 остальных. Остальные карты раздаём двум другим игрокам и кладём на стол:

\(A=C_{4}^{2}C_{4}^{2}C_{24}^{6}\cdot\dfrac{22!}{(10!)^2\,2!}\).

Чтобы учесть раздачи, в которых условие выполняется у нескольких игроков, применяем включения–исключения. Для двух указанных игроков число раздач, в которых каждый получает ровно по 2 туза и 2 семёрки:

\(B=C_{4}^{2}C_{4}^{2}C_{24}^{6}C_{18}^{6}\cdot\dfrac{12!}{10!\,2!}\).

Три игрока не могут одновременно получить по 2 туза, поскольку тузов всего 4. Поэтому искомое число равно \(3A-3B\), то есть \(3C_{4}^{2}C_{4}^{2}\left(C_{24}^{6}\dfrac{22!}{(10!)^2\,2!}-C_{24}^{6}C_{18}^{6}\dfrac{12!}{10!\,2!}\right)\).

в) Используем включения–исключения: вычитаем раздачи, в которых хотя бы один игрок не получил туз. Если тузов нет у выбранных \(k\) игроков, их можно распределить по оставшимся \(32-10k\) местам. Остальные 28 карт занимают оставшиеся места:

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{3}(-1)^kC_{3}^{k}C_{32-10k}^{4}\,28!=\left(C_{32}^{4}-3C_{22}^{4}+3C_{12}^{4}-C_{2}^{4}\right)28!\).

Здесь \(C_{2}^{4}=0\), поскольку нельзя разместить четыре туза на двух местах.