6. При каких значениях а уравнение x² - (4a + 3)x + 3a² + 3a / (x - 1) = 0

Решение:

Исходное уравнение:

\[ \frac{x^2 - (4a + 3)x + 3a^2 + 3a}{x - 1} = 0 \]

Условие: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( x \neq 1 \).

Для того чтобы дробь равнялась нулю, ее числитель должен равняться нулю:

\[ x^2 - (4a + 3)x + 3a^2 + 3a = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Решим его, используя дискриминант:

\[ D = (-(4a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 + 3a) \]
\[ D = (16a^2 + 24a + 9) - (12a^2 + 12a) \]
\[ D = 16a^2 + 24a + 9 - 12a^2 - 12a \]
\[ D = 4a^2 + 12a + 9 \]
Заметим, что \( D = (2a + 3)^2 \).

Корни квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{(4a + 3) \pm \sqrt{(2a + 3)^2}}{2} = \frac{(4a + 3) \pm (2a + 3)}{2} \]

Найдем два корня:

\[ x_1 = \frac{(4a + 3) + (2a + 3)}{2} = \frac{4a + 3 + 2a + 3}{2} = \frac{6a + 6}{2} = 3a + 3 \]
\[ x_2 = \frac{(4a + 3) - (2a + 3)}{2} = \frac{4a + 3 - 2a - 3}{2} = \frac{2a}{2} = a \]

Теперь рассмотрим условия для уравнения:

а) Уравнение имеет один корень.

Это возможно в двух случаях:

1. Дискриминант равен нулю: \( D = (2a + 3)^2 = 0 \) => \( 2a + 3 = 0 \) => \( a = -\frac{3}{2} \). В этом случае \( x = \frac{4a+3}{2} = \frac{4(-\frac{3}{2})+3}{2} = \frac{-6+3}{2} = -\frac{3}{2} \).
2. Один из корней равен 1 (и тогда он не является корнем исходного уравнения), а другой корень является корнем.

Проверим случай, когда \( x_1 = 1 \) или \( x_2 = 1 \).

Если \( x_1 = 3a + 3 = 1 \), то \( 3a = -2 \), \( a = -\frac{2}{3} \).

При \( a = -\frac{2}{3} \), \( x_1 = 1 \). Найдем \( x_2 \): \( x_2 = a = -\frac{2}{3} \).

В этом случае \( x=1 \) не является решением исходного уравнения, но \( x = -\frac{2}{3} \) является. Значит, при \( a = -\frac{2}{3} \) исходное уравнение имеет один корень.

Если \( x_2 = a = 1 \), то \( a = 1 \).

При \( a = 1 \), \( x_2 = 1 \). Найдем \( x_1 \): \( x_1 = 3a + 3 = 3(1) + 3 = 6 \).

В этом случае \( x=1 \) не является решением исходного уравнения, но \( x = 6 \) является. Значит, при \( a = 1 \) исходное уравнение имеет один корень.

Итак, для случая а) один корень, когда:

• \( a = -\frac{3}{2} \) (дискриминант равен 0)
• \( a = -\frac{2}{3} \) (когда \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = a \))
• \( a = 1 \) (когда \( x_2 = 1 \) и \( x_1 = 3a + 3 \))

б) Уравнение имеет только отрицательные корни.

Это означает, что оба корня \( x_1 = 3a + 3 \) и \( x_2 = a \) должны быть отрицательными, и ни один из них не должен быть равен 1.

Условия:

1. \( x_1 < 0 \rightarrow 3a + 3 < 0 \rightarrow 3a < -3 \rightarrow a < -1 \)
2. \( x_2 < 0 \rightarrow a < 0 \)
3. \( x_1 \neq 1 \rightarrow 3a + 3 \neq 1 \rightarrow 3a \neq -2 \rightarrow a \neq -\frac{2}{3} \)
4. \( x_2 \neq 1 \rightarrow a \neq 1 \)

Объединяя условия \( a < -1 \) и \( a < 0 \), получаем \( a < -1 \).

Условие \( a \neq -\frac{2}{3} \) уже учтено, так как \( -\frac{2}{3} \) не меньше -1.

Условие \( a \neq 1 \) также учтено.

Итак, для случая б) только отрицательные корни, когда \( a < -1 \).

Ответ:

а) Уравнение имеет один корень при \( a = -\frac{3}{2} \), \( a = -\frac{2}{3} \), \( a = 1 \).

б) Уравнение имеет только отрицательные корни при \( a < -1 \).