6. При каких значениях x имеет смысл выражение ?

Решение:

Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. То есть:

\[ 2x + √{6-x} ≥ 0 \]

Это неравенство состоит из двух частей: линейной \( 2x \) и подкоренной \( √{6-x} \).

Сначала найдём область допустимых значений для \( √{6-x} \), то есть \( 6 - x ≥ 0 \):

\[ -x ≥ -6 \]
\[ x ≤ 6 \]

Теперь рассмотрим само неравенство \( 2x + √{6-x} ≥ 0 \).

Если \( 6 - x = 0 \), то \( x = 6 \). Подставим в исходное неравенство:

\[ 2(6) + √{6-6} = 12 + 0 = 12 ≥ 0 \]

Значит, \( x = 6 \) подходит.

Если \( 6 - x > 0 \), то \( √{6-x} > 0 \). В этом случае нам нужно, чтобы \( 2x \) было достаточно большим, чтобы сумма была неотрицательной.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( 2x ≥ 0 \) (то есть \( x ≥ 0 \))
   В этом случае \( 2x ≥ 0 \) и \( √{6-x} ≥ 0 \), значит их сумма \( 2x + √{6-x} ≥ 0 \) всегда верна. Совмещаем с условием \( x ≤ 6 \) и \( x ≥ 0 \). Получаем \( 0 ≤ x ≤ 6 \).
2. Случай 2: \( 2x < 0 \) (то есть \( x < 0 \))
   В этом случае \( √{6-x} ≥ -2x \). Возведём обе части в квадрат (так как \( √{6-x} ≥ 0 \) и \( -2x > 0 \)):
   \[ 6 - x ≥ (-2x)^2 \]
   \[ 6 - x ≥ 4x^2 \]
   \[ 4x^2 + x - 6 ≤ 0 \]

   Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 + x - 6 = 0 \):

   \[ D = 1^2 - 4(4)(-6) = 1 + 96 = 97 \]
   \[ x = \frac{-1 ± √{97}}{8} \]

   \( x_1 = \frac{-1 - √{97}}{8} ≈ \frac{-1 - 9.85}{8} ≈ -1.356 \)
   \[ x_2 = \frac{-1 + √{97}}{8} ≈ \frac{-1 + 9.85}{8} ≈ 1.106 \]

   Парабола \( y = 4x^2 + x - 6 \) ветвями вверх, поэтому \( 4x^2 + x - 6 ≤ 0 \) при \( x_1 ≤ x ≤ x_2 \).
   То есть, \( \frac{-1 - √{97}}{8} ≤ x ≤ \frac{-1 + √{97}}{8} \).

   Мы рассматривали случай \( x < 0 \) и \( x ≤ 6 \). Учитывая это, получаем \( \frac{-1 - √{97}}{8} ≤ x < 0 \).

   Объединяя оба случая:

   Из Случая 1: \( 0 ≤ x ≤ 6 \).

   Из Случая 2: \( \frac{-1 - √{97}}{8} ≤ x < 0 \).

   Объединяя их, получаем: \( \frac{-1 - √{97}}{8} ≤ x ≤ 6 \).