6. R = 16, r = 9. Найдите длину AB и площадь трапеции AO₁O₂B.

Задание 6. Трапеция с вписанной окружностью

Дано:

• R = 16 (радиус большей окружности).
• r = 9 (радиус меньшей окружности).
• AO₁O₂B — трапеция.

Найти: длину AB и площадь трапеции AO₁O₂B.

Решение:

1. Найдем длину AB.

1. Трапеция AO₁O₂B описана вокруг окружности с радиусами r и R.
2. AB является боковой стороной трапеции, которая касается обеих окружностей.
3. Так как окружности касаются, отрезок O₁O₂ является осью симметрии.
4. Для трапеции, описанной вокруг окружности, высота равна сумме радиусов меньшей и большей окружностей, но в данном случае AB - это касательная, а не высота.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, построенный на O₁O₂ как на гипотенузе, если бы AB была высотой.
6. В данном случае, AB — это касательная, которая является основанием трапеции. A и B — точки касания.
7. O₁A и O₂B — это радиусы, проведенные к точкам касания, значит, O₁A ⊥ AB и O₂B ⊥ AB.
8. Проведем высоту из O₁ к O₂B. Пусть эта точка будет H. Тогда O₁H = AB, а O₂H = O₂B - O₁A = R - r = 16 - 9 = 7.
9. Треугольник O₁HO₂ — прямоугольный. По теореме Пифагора: \( O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2 \).
10. O₁O₂ — это расстояние между центрами окружностей. Если окружности касаются внешне, то \( O_1O_2 = R + r = 16 + 9 = 25 \).
11. \( 25^2 = AB^2 + 7^2 \)
12. \( 625 = AB^2 + 49 \)
13. \( AB^2 = 625 - 49 = 576 \)
14. \( AB = \sqrt{576} = 24 \).

2. Найдем площадь трапеции AO₁O₂B.

1. Основания трапеции — это радиусы O₁A и O₂B. \( O_1A = r = 9 \), \( O_2B = R = 16 \).
2. Высота трапеции — это отрезок AB, который мы нашли ранее. Высота = 24.
3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \[ S = \frac{O_1A + O_2B}{2} \cdot AB \]
4. Подставим значения: \[ S = \frac{9 + 16}{2} \cdot 24 = \frac{25}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 12 = 300 \].

Ответ: длина AB = 24, площадь трапеции = 300.