6. Разложить бином Ньютона (2x+3y²)⁶

Решение:

Для разложения бинома Ньютона $$(a+b)^n$$ используется формула:

$$ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \text{...} + \binom{n}{n}a^0 b^n $$

В нашем случае $$a = 2x$$, $$b = 3y^2$$, и $$n = 6$$. Коэффициенты $$\binom{n}{k}$$ — это биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты для n=6: $$\binom{6}{0}=1, \binom{6}{1}=6, \binom{6}{2}=15, \binom{6}{3}=20, \binom{6}{4}=15, \binom{6}{5}=6, \binom{6}{6}=1$$.

• $$k=0: \binom{6}{0}(2x)^6 (3y^2)^0 = 1 \times (64x^6) \times 1 = 64x^6$$
• $$k=1: \binom{6}{1}(2x)^5 (3y^2)^1 = 6 \times (32x^5) \times (3y^2) = 576x^5y^2$$
• $$k=2: \binom{6}{2}(2x)^4 (3y^2)^2 = 15 \times (16x^4) \times (9y^4) = 2160x^4y^4$$
• $$k=3: \binom{6}{3}(2x)^3 (3y^2)^3 = 20 \times (8x^3) \times (27y^6) = 4320x^3y^6$$
• $$k=4: \binom{6}{4}(2x)^2 (3y^2)^4 = 15 \times (4x^2) \times (81y^8) = 4860x^2y^8$$
• $$k=5: \binom{6}{5}(2x)^1 (3y^2)^5 = 6 \times (2x) \times (243y^{10}) = 2916xy^{10}$$
• $$k=6: \binom{6}{6}(2x)^0 (3y^2)^6 = 1 \times 1 \times (729y^{12}) = 729y^{12}$$

Суммируем все члены:

$$(2x+3y^2)^6 = 64x^6 + 576x^5y^2 + 2160x^4y^4 + 4320x^3y^6 + 4860x^2y^8 + 2916xy^{10} + 729y^{12}$$

Ответ: $$64x^6 + 576x^5y^2 + 2160x^4y^4 + 4320x^3y^6 + 4860x^2y^8 + 2916xy^{10} + 729y^{12}$$