8. В ящике находится 10 деталей, из которых 5 первого типа, 3 - второго, 2 – третьего. Какова вероятность того, что при выборе наугад первой будет взята деталь первого типа, второй — второго, третьей - третьего типа?

Решение:

Эта задача решается с использованием формулы условной вероятности, так как выбор деталей происходит без возвращения.

• Общее количество деталей: 10.
• Количество деталей первого типа: 5.
• Количество деталей второго типа: 3.
• Количество деталей третьего типа: 2.

Вероятность выбора детали первого типа первой:

• $$P(\text{первая - 1-го типа}) = \frac{\text{Количество деталей 1-го типа}}{\text{Общее количество деталей}} = \frac{5}{10}$$

Вероятность выбора детали второго типа второй (при условии, что первая была первого типа):

• После выбора одной детали первого типа осталось 9 деталей.
• $$P(\text{вторая - 2-го типа | первая - 1-го типа}) = \frac{\text{Количество деталей 2-го типа}}{\text{Оставшееся количество деталей}} = \frac{3}{9}$$

Вероятность выбора детали третьего типа третьей (при условии, что первая была первого типа, а вторая - второго):

• После выбора двух деталей осталось 8 деталей.
• $$P(\text{третья - 3-го типа | первая - 1-го типа, вторая - 2-го типа}) = \frac{\text{Количество деталей 3-го типа}}{\text{Оставшееся количество деталей}} = \frac{2}{8}$$

Общая вероятность (произведение вероятностей):

• $$P(\text{1-го, затем 2-го, затем 3-го}) = P(\text{первая - 1-го}) \times P(\text{вторая - 2-го | первая - 1-го}) \times P(\text{третья - 3-го | первая - 1-го, вторая - 2-го})$$
• $$P = \frac{5}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$

Ответ: 1/24