6. Разложите на множители многочлен 45x⁴ + 77x³ − 68x² − 68x + 32.

При \(x=-1\) многочлен равен нулю, поэтому выделим множитель \(x+1\). Деление даёт кубический многочлен:

\(45x^4+77x^3-68x^2-68x+32=(x+1)(45x^3+32x^2-100x+32)\).

Кубический множитель не имеет рациональных корней: возможные рациональные корни вида \(\pm p/q\), где \(p\) делит 32, а \(q\) делит 45, при подстановке не обращают его в ноль. Поэтому дальнейшего разложения на множители с рациональными коэффициентами нет.

Ответ: \((x+1)(45x^3+32x^2-100x+32)\).