6. Решить уравнение log₂(x - 2) + log₂x = 3.

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2(x - 2) + \log_2 x = 3 \) сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\[ x - 2 > 0 \implies x > 2 \]

\[ x > 0 \]

Объединяя эти условия, получаем \( x > 2 \).

Используем свойство логарифмов \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \):

\[ \log_2((x - 2) \cdot x) = 3 \]

\[ \log_2(x^2 - 2x) = 3 \]

Перейдем к показательной форме:

\[ x^2 - 2x = 2^3 \]

\[ x^2 - 2x = 8 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна \( 2 \), произведение равно \( -8 \). Корни: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).

Теперь проверим найденные корни по ОДЗ \( x > 2 \):

• \( x = 4 \) удовлетворяет условию \( x > 2 \).
• \( x = -2 \) не удовлетворяет условию \( x > 2 \).

Следовательно, подходит только \( x = 4 \).

Ответ: x = 4.