8. Решить неравенство log₃² x - 2 log₃ x ≤ 3.

Решение:

Для решения неравенства \( \log_3^2 x - 2 \log_3 x \le 3 \) введем замену переменной. Пусть \( y = \log_3 x \).

Тогда неравенство примет вид:

\[ y^2 - 2y \le 3 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ y^2 - 2y - 3 \le 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( y^2 - 2y - 3 = 0 \). Используем теорему Виета: сумма корней равна \( 2 \), произведение равно \( -3 \). Корни: \( y_1 = 3 \) и \( y_2 = -1 \).

Так как ветви параболы \( y^2 - 2y - 3 \) направлены вверх, то неравенство \( y^2 - 2y - 3 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le y \le 3 \).

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \), подставив \( y = \log_3 x \):

\[ -1 \le \log_3 x \le 3 \]

Разделим это двойное неравенство на два:

\[ \log_3 x \ge -1 \]

\[ \log_3 x \le 3 \]

Решим каждое из них, учитывая, что основание логарифма \( 3 > 1 \) (функция возрастающая), поэтому знак неравенства сохраняется:

1) \( \log_3 x \ge -1 \implies x \ge 3^{-1} \implies x \ge \frac{1}{3} \)

2) \( \log_3 x \le 3 \implies x \le 3^3 \implies x \le 27 \]

Объединим полученные результаты:

\[ \frac{1}{3} \le x \le 27 \]

Также необходимо учесть ОДЗ для исходного логарифмического выражения: \( x > 0 \). Наше решение \( \frac{1}{3} \le x \le 27 \) удовлетворяет этому условию.

Ответ: \( [\frac{1}{3}; 27] \).