7. Решить уравнение log₈ x + log√₂ x = 14.

Решение:

Для решения уравнения \( \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 \) приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \) и \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Можно привести к основанию 2.

Первый логарифм: \( \log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x \).

Второй логарифм: \( \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x \).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ \frac{1}{3} \log_2 x + 2 \log_2 x = 14 \]

Вынесем \( \log_2 x \) за скобки:

\[ \left(\frac{1}{3} + 2\right) \log_2 x = 14 \]

\[ \left(\frac{1}{3} + \frac{6}{3}\right) \log_2 x = 14 \]

\[ \frac{7}{3} \log_2 x = 14 \]

Найдем \( \log_2 x \):

\[ \log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7} \]

\[ \log_2 x = 2 \cdot 3 \]

\[ \log_2 x = 6 \]

Перейдем к показательной форме:

\[ x = 2^6 \]

\[ x = 64 \]

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма \( x \) должен быть больше 0. \( 64 > 0 \), значит, решение подходит.

Ответ: x = 64.