6. Решите неравенства: 1) \(\sqrt{x+4}\le\sqrt{2x-1}\); 2) \(\sqrt{6x-11}<7\); 3) \(\sqrt{x^2-6x+8}\le5+x\); 4) \(\sqrt{x-1}>x-3\).

1) ОДЗ: \(x\ge frac12\). Обе части неотрицательны, поэтому сравниваем подкоренные выражения: \(x+4\le2x-1\), откуда \(x\ge5\).

2) ОДЗ: \(x\ge \frac{11}{6}\). Правая часть положительна, поэтому возводим в квадрат: \(6x-11<49\), откуда \(x<10\). С учётом ОДЗ получаем \([ \frac{11}{6},10)\).

3) ОДЗ: \(x^2-6x+8\ge0\), то есть \(x\le2\) или \(x\ge4\). Правая часть \(x+5\) положительна на ОДЗ. Возводим в квадрат:

\(x^2-6x+8\le(x+5)^2\iff16x+17\ge0\iff x\ge- \frac{17}{16}.\)

Пересечение с ОДЗ: \([- \frac{17}{16},2]\cup[4,+\infty)\).

4) ОДЗ: \(x\ge1\). При \(1\le x<3\) правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство верно. При \(x\ge3\) возводим обе неотрицательные части в квадрат:

\(x-1>(x-3)^2\iff x^2-7x+10<0\iff (x-2)(x-5)<0\), следовательно, \(3\le x<5\). Объединяя случаи, получаем \([1,5)\).

Ответ: 1) \([5,+\infty)\); 2) \([ \frac{11}{6},10)\); 3) \([- \frac{17}{16},2]\cup[4,+\infty)\); 4) \([1,5)\).