6. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса: \(\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=7,\\x_1+3x_2-2x_3=0,\\2x_2-x_3=2.\end{cases}\)

Запишем расширенную матрицу системы и выполним исключение неизвестных:

\[\begin{pmatrix}2&-1&3&|&7\\1&3&-2&|&0\\0&2&-1&|&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&3&-2&|&0\\0&-7&7&|&7\\0&2&-1&|&2\end{pmatrix}.\]

Из второй строки получаем \(-x_2+x_3=1\), то есть \(x_3=x_2+1\). Подставим это в третью строку: \(2x_2-(x_2+1)=2\), откуда \(x_2=3\), \(x_3=4\).

Из первой строки: \(x_1+3\cdot3-2\cdot4=0\), поэтому \(x_1=-1\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(-1,3,4)\).