6. Решите систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера: \(\begin{cases}2x+3y-4z=3,\\3x-4y+2z=-5,\\2x+7y-5z=13.\end{cases}\)

Для каждого способа получаем одну и ту же систему и решение.

Метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу и выполним преобразования строк:

\(\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-4&3\\3&-4&2&-5\\2&7&-5&13\end{array}\right)\xrightarrow{R_2\leftarrow2R_2-3R_1,\;R_3\leftarrow R_3-R_1}\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-4&3\\0&-17&16&-19\\0&4&-1&10\end{array}\right)\).

Из последних двух уравнений: \(17y-16z=19\), \(4y-z=10\). Отсюда \(z=4y-10\), затем \(y=3\), \(z=2\). Первое уравнение даёт \(x=1\).

Матричный способ. Пусть \(A=\begin{pmatrix}2&3&-4\\3&-4&2\\2&7&-5\end{pmatrix}\), \(b=\begin{pmatrix}3\\-5\\13\end{pmatrix}\). Определитель \(\det A=94\ne0\), следовательно, \(X=A^{-1}b\) существует. Решение системы, то есть произведение \(A^{-1}b\), равно \(\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\).

Правило Крамера. \(\Delta=94\). Определители при замене соответствующих столбцов на столбец свободных членов равны \(\Delta_x=94\), \(\Delta_y=282\), \(\Delta_z=188\). Поэтому \(x=\frac{94}{94}=1\), \(y=\frac{282}{94}=3\), \(z=\frac{188}{94}=2\).

Проверка: \(2+9-8=3\), \(3-12+4=-5\), \(2+21-10=13\).

Ответ: \((x,y,z)=(1,3,2)\).