6. Решите уравнение: \(3\cdot2^{2x}+2\cdot3^{2x}=5\cdot6^x\). В ответе укажите корни уравнения или их сумму, если корней несколько. [Продолжение инструкции обрезано]

Разделим уравнение на \(6^x\), которое положительно: \(3\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\left(\frac{3}{2}\right)^x=5\).

Положим \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x>0\), тогда \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac1t\). Получаем \(\frac{3}{t}+2t=5\), или \(2t^2-5t+3=0\). Разложим на множители: \((2t-3)(t-1)=0\), значит \(t=\frac32\) или \(t=1\).

Из \(\left(\frac32\right)^x=\frac32\) получаем \(x=1\), а из \(\left(\frac32\right)^x=1\) — \(x=0\). Сумма корней равна \(1\).

Ответ: корни \(0\) и \(1\); их сумма — \(1\).