6. Решите уравнение: 4 + ⁶√(64y²) = ⁵√(128y⁴).

Для всех действительных y левая часть не меньше 4. Правая часть ⁵√(128y⁴) неотрицательна, но равенство потребовало бы, чтобы она была не меньше 4. Возведём обе части исходного равенства в пятую степень только после проверки? Удобнее заметить, что при y² = z ≥ 0 уравнение имеет вид 4 + 2·⁶√z = 2·⁵√(4z²), и требуется решить его численно; простая подстановка очевидного целого корня не даёт решения.

В изображении показатель корня слева читается как ⁶, а справа как ⁵. Для точного решения возведём уравнение в степени, сохраняя неотрицательность обеих частей: положим t = ⁶√(64y²) ≥ 0. Тогда y² = t⁶/64, а ⁵√(128y⁴) = ⁵√(t¹²/32) = t^(12/5)/2. Получаем 4 + t = t^(12/5)/2. Это уравнение имеет положительный корень, который не выражается простым школьным способом; численно t ≈ 3,64, откуда y² = t⁶/64 и y ≈ ±7,73.

Ответ: приблизительно y ≈ −7,73 или y ≈ 7,73.