6. Решите уравнение: \(5\cdot5^{2x}-13\cdot5^x\cdot3^x+6\cdot3^{2x}=0\). В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Пусть \(a=5^x\), \(b=3^x\). Уравнение принимает вид \(5a^2-13ab+6b^2=0\). Разложим на множители: \((5a-3b)(a-2b)=0\).

Значит, либо \(5^x=2\cdot3^x\), либо \(5\cdot5^x=3\cdot3^x\). В первом случае \(\left(\frac53\right)^x=2\), откуда \(x=\log_{5/3}2\). Во втором случае \(\left(\frac53\right)^x=\frac35=\left(\frac53\right)^{-1}\), поэтому \(x=-1\).

Корней два. Их сумма равна \(\log_{5/3}2-1\).

Ответ: \(\log_{5/3}2-1\).