6. Решите уравнение: 5x-7 / x-3 = 4x-3 / x.

Задание 6. Решение уравнения

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

\[ \frac{5x - 7}{x - 3} = \frac{4x - 3}{x} \]

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \]

\[ x \neq 0 \]

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю \( x(x - 3) \) и решим его.

1. Умножим обе части уравнения на \( x(x - 3) \):

\[ x(5x - 7) = (4x - 3)(x - 3) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 12x - 3x + 9 \]

3. Приведем подобные слагаемые в правой части:

\[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9 \]

4. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 4x^2 - 7x + 15x - 9 = 0 \]

\[ x^2 + 8x - 9 = 0 \]

5. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета (произведение корней равно -9, сумма корней равна -8):

Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -9 \).

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq 0 \). Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -9 \).