6. За велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Задание 6. Задача на движение

Дано:

• Общее расстояние: \( S = 96 \) км.
• Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).
• Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = v_2 + 4 \) (км/ч).
• Время первого велосипедиста на 4 часа меньше, чем второго.

Найти: скорость велосипедиста, пришедшего первым (то есть \( v_1 \)).

Решение:

Введем переменные:

• Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста.
• Пусть \( t_1 \) — время первого велосипедиста, \( t_2 \) — время второго велосипедиста.

Из условия задачи:

• \( v_1 = v_2 + 4 \)
• \( t_1 = t_2 - 4 \)
• \( S = 96 \) км.

Используем формулу \( S = v · t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

Тогда:

• \( t_1 = \frac{96}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{96}{v_2} \)

Подставим эти выражения в уравнение \( t_1 = t_2 - 4 \):

\[ \frac{96}{v_1} = \frac{96}{v_2} - 4 \]

Заменим \( v_2 \) на \( v_1 - 4 \) (так как \( v_1 = v_2 + 4 \), то \( v_2 = v_1 - 4 \)):

\[ \frac{96}{v_1} = \frac{96}{v_1 - 4} - 4 \]

Умножим все члены уравнения на \( v_1(v_1 - 4) \), чтобы избавиться от знаменателей (при условии \( v_1 \neq 0 \) и \( v_1 \neq 4 \)):

\[ 96(v_1 - 4) = 96v_1 - 4v_1(v_1 - 4) \]

\[ 96v_1 - 384 = 96v_1 - 4v_1^2 + 16v_1 \]

Сократим \( 96v_1 \) с обеих сторон:

\[ -384 = -4v_1^2 + 16v_1 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 4v_1^2 - 16v_1 - 384 = 0 \]

Разделим на 4:

\[ v_1^2 - 4v_1 - 96 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v_1 \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \]

Найдем корни:

\[ v_{1} = \frac{-(-4) \pm 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 20}{2} \]

Два возможных значения для \( v_1 \):

\[ v_{1,1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ v_{1,2} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_1 = 12 \) км/ч.

Проверим: Если \( v_1 = 12 \) км/ч, то \( v_2 = 12 - 4 = 8 \) км/ч.

Время первого: \( t_1 = \frac{96}{12} = 8 \) часов.

Время второго: \( t_2 = \frac{96}{8} = 12 \) часов.

Разница во времени: \( 12 - 8 = 4 \) часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 12 км/ч.