6. Решите уравнение: 5x-7 ------ = ------ x-3 4x-3 x

Решение:

1. Определим ОДЗ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq 0 \).
2. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{5x-7}{x-3} = \frac{4x-3}{x} \] \[ \frac{(5x-7)x}{(x-3)x} = \frac{(4x-3)(x-3)}{x(x-3)} \]
3. Приравняем числители: \[ x(5x-7) = (4x-3)(x-3) \] \[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 12x - 3x + 9 \] \[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9 \]
4. Перенесём все члены в левую часть: \[ 5x^2 - 4x^2 - 7x + 15x - 9 = 0 \] \[ x^2 + 8x - 9 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).
6. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9 \]
7. Оба корня \( 1 \) и \( -9 \) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = 1, x = -9.