7. Два велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

Обозначим скорость второго велосипедиста как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет \( v + 4 \) км/ч.

Время, которое затратил второй велосипедист на дистанцию 96 км: \( t_2 = \frac{96}{v} \) часа.

Время, которое затратил первый велосипедист на дистанцию 96 км: \( t_1 = \frac{96}{v+4} \) часа.

По условию, первый велосипедист прибыл на 4 часа раньше второго, то есть \( t_2 - t_1 = 4 \).

Составим уравнение:

\( \frac{96}{v} - \frac{96}{v+4} = 4 \)

Разделим обе части уравнения на 4:

\( \frac{24}{v} - \frac{24}{v+4} = 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{24(v+4) - 24v}{v(v+4)} = 1 \)

\( \frac{24v + 96 - 24v}{v^2 + 4v} = 1 \)

\( \frac{96}{v^2 + 4v} = 1 \)

\( v^2 + 4v = 96 \)

\( v^2 + 4v - 96 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( v \):

Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \).

\( \sqrt{D} = 20 \).

\( v_1 = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( v_2 = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = 8 \) км/ч (скорость второго велосипедиста).

Скорость первого велосипедиста: \( v + 4 = 8 + 4 = 12 \) км/ч.

Ответ: 12 км/ч.