7. Два велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч), а \( t_2 \) — время, которое он затратил на путь (ч).

Тогда скорость первого велосипедиста \( v_1 = v_2 + 4 \) (км/ч), а время, которое он затратил \( t_1 = t_2 - 4 \) (ч).

Расстояние для обоих велосипедистов одинаковое — \( S = 96 \) км.

Используем формулу \( S = v \cdot t \), выразив время \( t = \frac{S}{v} \).

Для второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{96}{v_2} \).

Для первого велосипедиста: \( t_1 = \frac{96}{v_1} = \frac{96}{v_2 + 4} \).

Так как \( t_1 = t_2 - 4 \), подставим выражения для времени:

\( \frac{96}{v_2 + 4} = \frac{96}{v_2} - 4 \).

Приведем уравнение к общему знаменателю \( v_2(v_2+4) \):

\( 96v_2 = 96(v_2 + 4) - 4v_2(v_2 + 4) \).

Раскроем скобки:

\( 96v_2 = 96v_2 + 384 - 4v_2^2 - 16v_2 \).

Перенесем все в одну сторону:

\( 4v_2^2 + 16v_2 - 384 = 0 \).

Разделим на 4:

\( v_2^2 + 4v_2 - 96 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \).

Корни \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 20}{2} \).

\( v_2 = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) (скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень \( v_2 = -12 \) отбрасываем).

Скорость второго велосипедиста \( v_2 = 8 \) км/ч.

Скорость первого велосипедиста \( v_1 = v_2 + 4 = 8 + 4 = 12 \) км/ч.

Проверка:

Время первого: \( t_1 = \frac{96}{12} = 8 \) ч.

Время второго: \( t_2 = \frac{96}{8} = 12 \) ч.

Разница во времени: \( 12 - 8 = 4 \) ч. Условие выполнено.

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 12 км/ч.