6. Решите уравнение: \(\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0.\)

Решение:

Решим уравнение \(\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0.\)

1. Приведём знаменатель \( x^2 - 25 \) к виду \( (x-5)(x+5) \).
2. Домножим первое дробь на \( (x+5) \) для приведения к общему знаменателю: \(\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0.\)
3. Сложим числители: \(\frac{x(x+5) + 3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0.\)
4. Раскроем скобки в числителе: \(\frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0.\)
5. Упростим числитель: \(\frac{x^2 + 8x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0.\)
6. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Приравняем числитель к нулю: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение: \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \).
• \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \).
• \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 - 2}{2} = -5 \).
• Проверим знаменатель: \( (x-5)(x+5) \).
• При \( x = -3 \): \( (-3-5)(-3+5) = (-8)(2) = -16 \
  e 0 \).
• При \( x = -5 \): \( (-5-5)(-5+5) = (-10)(0) = 0 \). Знаменатель обращается в ноль, поэтому \( x = -5 \) является посторонним корнем.

Ответ: \( x = -3 \).