6. Решите уравнение: \( \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0 \).

Решение:

Для решения уравнения приведём его к общему знаменателю.

1. Заметим, что \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \). Это общий знаменатель.
2. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \( (x+5) \): \( \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} \).
3. Второе слагаемое уже имеет общий знаменатель: \( \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} \).
4. Исходное уравнение примет вид: \( \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 \).
5. Сложим числители: \( x(x+5) + (3x+15) = 0 \).
6. Раскроем скобки: \( x^2 + 5x + 3x + 15 = 0 \).
7. Приведём подобные члены: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \).
8. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \).
9. Корни: \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5 \).
10. Проверим, не равны ли корни знаменателю \( x-5 \) или \( x+5 \). Знаменатель обращается в ноль при \( x=5 \) и \( x=-5 \).
11. Корень \( x_2 = -5 \) является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.
12. Единственный корень уравнения — \( x = -3 \).

Ответ: \( x = -3 \).