6. Решите уравнение log1 (x-2) + log1 (12-x) = -2.

Решение:

1. Область определения:

• \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
• \( 12 - x > 0 \Rightarrow x < 12 \)
• Следовательно, \( 2 < x < 12 \).

2. Применим свойство логарифма: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)

\[ \log_{1/3} ((x-2)(12-x)) = -2 \]

3. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному: \( (x-2)(12-x) = (1/3)^{-2} \)

\[ (x-2)(12-x) = 3^2 \]\[ 12x - x^2 - 24 + 2x = 9 \]\[ -x^2 + 14x - 24 = 9 \]\[ -x^2 + 14x - 33 = 0 \]\[ x^2 - 14x + 33 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \]\[ \sqrt{D} = 8 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]\[ x_2 = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

5. Проверим корни по области определения:

• \( x_1 = 11 \) находится в интервале \( (2; 12) \).
• \( x_2 = 3 \) находится в интервале \( (2; 12) \).

Оба корня подходят.

Ответ: x = 3, x = 11.