8. Решите систему уравнений {log2 x + log2 y = log2 7, [7^log7(x+y)] = log/5 81.

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

\[ \log_2 x + \log_2 y = \log_2 7 \]\[ \log_2 (xy) = \log_2 7 \]\[ xy = 7 \]

2. Преобразуем второе уравнение:

\[ 7^{\log_7 (x+y)} = \log_5 81 \]

Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \) для левой части:

\[ x+y = \log_5 81 \]

3. Получаем систему:

\[ \begin{cases} xy = 7 \\ x+y = \log_5 81 \end{cases} \]

Это система вида \( \begin{cases} x+y = S \\ xy = P \end{cases} \), где \( S = \log_5 81 \) и \( P = 7 \). Корни \( x \) и \( y \) являются корнями квадратного уравнения \( t^2 - St + P = 0 \).

\[ t^2 - (\log_5 81) t + 7 = 0 \]

4. Проверим область определения:

• \( x > 0 \)
• \( y > 0 \)
• \( x+y > 0 \) (так как \( \log_5 81 \) положительно, это условие выполняется, если \( x \) и \( y \) положительны)

5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (\log_5 81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = (\log_5 81)^2 - 28 \]

Поскольку \( \log_5 81 \) примерно равно \( \log_5 125 = 3 \), то \( (\log_5 81)^2 \) будет больше 9. \( \log_5 81 = \frac{\ln 81}{\ln 5} \approx \frac{4.394}{1.609} \approx 2.73 \). \( 2.73^2 \approx 7.45 \). \( D \approx 7.45 - 28 < 0 \). Следовательно, действительных решений нет.

Примечание: В условии задания, возможно, есть опечатка во втором уравнении. Если предположить, что это \( 7^{\log_7 (x+y)} = 7 \), то \( x+y = 7 \), и тогда система будет:

\[ \begin{cases} xy = 7 \\ x+y = 7 \end{cases} \]

Это приведет к уравнению \( t^2 - 7t + 7 = 0 \).

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 49 - 28 = 21 \]\[ t = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2} \]

Корни \( x = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}, y = \frac{7 - \sqrt{21}}{2} \) или наоборот.

Ответ: Действительных решений нет (при исходных данных). Если предположить, что \( \log_5 81 \) должно быть \( 7 \), то \( x = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}, y = \frac{7 \mp \sqrt{21}}{2} \).