6. Решите уравнение x^2 + y^2 – 12x + 4y + 40 = 0.

Решение:

Приведём уравнение к виду \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), используя метод выделения полного квадрата.

1. Сгруппируем члены с \( x \) и \( y \): \( (x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) + 40 = 0 \)
2. Выделим полные квадраты:
• Для \( x \): \( x^2 - 12x = (x^2 - 2 6x + 36) - 36 = (x - 6)^2 - 36 \)
• Для \( y \): \( y^2 + 4y = (y^2 + 2 2y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в уравнение: \( ((x - 6)^2 - 36) + ((y + 2)^2 - 4) + 40 = 0 \)
4. Перенесём константы в правую часть: \( (x - 6)^2 + (y + 2)^2 - 36 - 4 + 40 = 0 \) \( (x - 6)^2 + (y + 2)^2 - 40 + 40 = 0 \) \( (x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 0 \)
5. Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю.
• \( (x - 6)^2 = 0 \) \( x - 6 = 0 x = 6 \)
• \( (y + 2)^2 = 0 \) \( y + 2 = 0 y = -2 \)

Ответ: \( x = 6, y = -2 \).