6. Решите уравнение x^2 + y^2 - 12x + 4y + 40 = 0.

Решение:

Перегруппируем члены уравнения, сгруппировав слагаемые с \( x \) и \( y \) отдельно:

\( (x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) + 40 = 0 \)

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \( x \) и \( y \):

Для \( x \): \( (\frac{-12}{2})^2 = (-6)^2 = 36 \)

Для \( y \): \( (\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4 \)

\( (x^2 - 12x + 36) - 36 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 40 = 0 \)

Свернём полные квадраты:

\( (x - 6)^2 - 36 + (y + 2)^2 - 4 + 40 = 0 \)

\( (x - 6)^2 + (y + 2)^2 - 40 + 40 = 0 \)

\( (x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 0 \)

Сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый квадрат равен нулю. Это возможно, если:

\( x - 6 = 0 \) и \( y + 2 = 0 \)

Решим эти простые уравнения:

\( x = 6 \)

\( y = -2 \)

Ответ: \( x = 6, y = -2 \).