6.** Решите уравнение x² + y² +10x+6y + 34 = 0.

Решение:

1. Сгруппируем члены уравнения:\[ (x^2 + 10x) + (y^2 + 6y) + 34 = 0 \]
2. Дополним до полных квадратов:\[ (x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 34 = 0 \]
3. Запишем полные квадраты:\[ (x + 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 + 34 = 0 \]
4. Упростим:\[ (x + 5)^2 + (y + 3)^2 - 34 + 34 = 0 \]
5. \[ (x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 0 \]
6. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:\[ x + 5 = 0 ext{ и } y + 3 = 0 \]
7. Отсюда:\[ x = -5 ext{ и } y = -3 \]

Ответ: x = -5, y = -3