6. Решите уравнение x² + y² + 10x + 6y + 34 = 0.

Решение:

Сгруппируем члены уравнения по переменным \( x \) и \( y \), а затем выделим полные квадраты.

\( (x^2 + 10x) + (y^2 + 6y) + 34 = 0 \)

Чтобы выделить полный квадрат для \( x \), добавим и вычтем \( (10/2)^2 = 5^2 = 25 \).

Чтобы выделить полный квадрат для \( y \), добавим и вычтем \( (6/2)^2 = 3^2 = 9 \).

\( (x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 34 = 0 \)

Свернём полные квадраты:

\( (x + 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 + 34 = 0 \)

Сгруппируем постоянные члены:

\( (x + 5)^2 + (y + 3)^2 - 34 + 34 = 0 \)

\( (x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 0 \)

Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю.

Следовательно:

\( x + 5 = 0 → x = -5 \)

\( y + 3 = 0 → y = -3 \)

Ответ: x = -5, y = -3.