6. Решите задачи на составление уравнений: 4. Четыре класса собрали макулатуру — всего 205 кг. Второй класс собрал \(\frac{2}{5}\) того, что собрал первый. Третий класс собрал 80% того, что собрал второй. Четвёртый класс собрал на 3 кг меньше, чем третий. Сколько килограммов макулатуры собрал каждый класс?

Решение:

Пусть первый класс собрал \( x \) кг макулатуры.

Второй класс собрал: \( \frac{2}{5}x \) кг.

Третий класс собрал: \( 80\% \cdot \frac{2}{5}x = 0,8 \cdot \frac{2}{5}x = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5}x = \frac{8}{25}x \) кг.

Четвёртый класс собрал: \( \frac{8}{25}x - 3 \) кг.

Всего собрано 205 кг:

\( x + \frac{2}{5}x + \frac{8}{25}x + (\frac{8}{25}x - 3) = 205 \)

\( x + \frac{2}{5}x + \frac{8}{25}x + \frac{8}{25}x - 3 = 205 \)

Приведём к общему знаменателю 25:

\( \frac{25x}{25} + \frac{10x}{25} + \frac{8x}{25} + \frac{8x}{25} = 205 + 3 \)

\( \frac{25x + 10x + 8x + 8x}{25} = 208 \)

\( \frac{51x}{25} = 208 \)
\( 51x = 208 \cdot 25 \)
\( 51x = 5200 \)
\( x = \frac{5200}{51} \) (это число не целое, возможно, в условии ошибка)

Если предположить, что второй класс собрал \( \frac{3}{5} \) того, что собрал первый, и третий класс собрал \( \frac{2}{3} \) того, что собрал второй, а четвёртый на 3 кг меньше третьего, то:

Пусть первый класс собрал \( x \) кг.

Второй класс: \( \frac{3}{5}x \)

Третий класс: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}x = \frac{2}{5}x \)

Четвёртый класс: \( \frac{2}{5}x - 3 \)

\( x + \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}x + \frac{2}{5}x - 3 = 205 \)

\( x + \frac{7}{5}x = 208 \)
\( \frac{5x + 7x}{5} = 208 \)
\( \frac{12x}{5} = 208 \)
\( 12x = 208 \cdot 5 \)
\( 12x = 1040 \)
\( x = \frac{1040}{12} = \frac{260}{3} \)

Давайте вернёмся к исходным данным и проверим, если предположить, что первый класс собрал \( 100 \) кг:

1 класс — \( 100 \) кг

2 класс — \( \frac{2}{5} \cdot 100 = 40 \) кг

3 класс — \( 80\% \cdot 40 = 0,8 \cdot 40 = 32 \) кг

4 класс — \( 32 - 3 = 29 \) кг

Сумма: \( 100 + 40 + 32 + 29 = 201 \) кг.

Это близко к 205 кг. Возможно, в условии есть погрешность. Будем использовать эти значения.

Пусть \( x \) — количество макулатуры, собранное первым классом.

\( x + \frac{2}{5}x + 0,8 \cdot \frac{2}{5}x + (0,8 \cdot \frac{2}{5}x - 3) = 205 \)
\( x + \frac{2}{5}x + \frac{8}{25}x + \frac{8}{25}x - 3 = 205 \)
\( x(1 + \frac{2}{5} + \frac{8}{25} + \frac{8}{25}) = 208 \)
\( x(\frac{25+10+8+8}{25}) = 208 \)
\( x(\frac{51}{25}) = 208 \)
\( x = \frac{208 \cdot 25}{51} = \frac{5200}{51} \) кг.

1 класс: \( \frac{5200}{51} \) кг.

2 класс: \( \frac{2}{5} \cdot \frac{5200}{51} = \frac{2 \cdot 1040}{51} = \frac{2080}{51} \) кг.

3 класс: \( \frac{8}{25} \cdot \frac{5200}{51} = \frac{8 \cdot 208}{51} = \frac{1664}{51} \) кг.

4 класс: \( \frac{1664}{51} - 3 = \frac{1664 - 153}{51} = \frac{1511}{51} \) кг.

Сумма: \( \frac{5200 + 2080 + 1664 + 1511}{51} = \frac{10455}{51} \) (это не 205)

Проверим другое предположение:

Пусть количество макулатуры, собранное первым классом, равно \( 5y \) кг.

Тогда второй класс собрал \( \frac{2}{5} \cdot 5y = 2y \) кг.

Третий класс собрал \( 80\% \cdot 2y = 0,8 \cdot 2y = 1,6y \) кг.

Четвёртый класс собрал \( 1,6y - 3 \) кг.

Сумма: \( 5y + 2y + 1,6y + (1,6y - 3) = 205 \)
\( 5y + 2y + 1,6y + 1,6y - 3 = 205 \)
\( 10,2y = 208 \)
\( y = \frac{208}{10,2} = \frac{2080}{102} = \frac{1040}{51} \)

1 класс: \( 5y = 5 \cdot \frac{1040}{51} = \frac{5200}{51} \) кг.

2 класс: \( 2y = 2 \cdot \frac{1040}{51} = \frac{2080}{51} \) кг.

3 класс: \( 1,6y = 1,6 \cdot \frac{1040}{51} = \frac{16}{10} \cdot \frac{1040}{51} = \frac{16 \cdot 104}{51} = \frac{1664}{51} \) кг.

4 класс: \( 1,6y - 3 = \frac{1664}{51} - 3 = \frac{1664 - 153}{51} = \frac{1511}{51} \) кг.

Сумма: \( \frac{5200 + 2080 + 1664 + 1511}{51} = \frac{10455}{51} = 205 \) кг.

Ответ: Первый класс собрал \( \frac{5200}{51} \) кг, второй — \( \frac{2080}{51} \) кг, третий — \( \frac{1664}{51} \) кг, четвёртый — \( \frac{1511}{51} \) кг.