6. Решите задачу. а) Моторная лодка прошла 21 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 1 км/ч. б) Катер проплыл 24 км против течения реки и 27 км по озеру, потратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

а) Пусть \(v\) — скорость лодки в стоячей воде, км/ч. Тогда скорости против течения и по течению равны \(v-1\) и \(v+1\).

Составим уравнение: \(\frac{21}{v-1}+\frac{8}{v+1}=2\), где \(v>1\).

\(21(v+1)+8(v-1)=2(v^2-1)\); \(29v+13=2v^2-2\); \(2v^2-29v-15=0\).

Корни: \(v=15\) и \(v=-\frac12\). Отрицательный корень не подходит.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 15 км/ч.

б) Пусть \(v\) — собственная скорость катера, км/ч. Против течения катер движется со скоростью \(v-2\), а по озеру — со скоростью \(v\).

\(\frac{24}{v-2}+\frac{27}{v}=3\), где \(v>2\).

\(24v+27(v-2)=3v(v-2)\); \(51v-54=3v^2-6v\); \(v^2-19v+18=0\).

Корни: \(v=1\) и \(v=18\). Условию \(v>2\) удовлетворяет только \(v=18\).

Ответ: собственная скорость катера — 18 км/ч.