6. Решите задачу. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт В на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго велосипедиста?

Дано:

• Расстояние $$S = 45$$ км.
• Время, через которое выехал второй велосипедист, $$t_{ ext{разница}} = 30$$ мин $$= 0,5$$ ч.
• Второй велосипедист прибыл на $$15$$ мин $$= 0,25$$ ч раньше первого.
• Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч меньше скорости второго ($$v_1 = v_2 - 3$$).

Найти: Скорость первого велосипедиста ($$v_1$$).

Решение:

1. Обозначим скорости:
   • Пусть скорость первого велосипедиста $$v_1 = x$$ км/ч.
   • Тогда скорость второго велосипедиста $$v_2 = x + 3$$ км/ч.
2. Выразим время в пути для каждого велосипедиста:
   • Время первого велосипедиста: $$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{45}{x}$$ ч.
   • Время второго велосипедиста: $$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{45}{x+3}$$ ч.
3. Составим уравнение, учитывая разницу во времени прибытия:
4. Второй велосипедист прибыл на 0,25 ч раньше первого. Это значит, что время первого на 0,25 ч больше времени второго.
5. $$t_1 = t_2 + 0,25$$
6. $$ \frac{45}{x} = \frac{45}{x+3} + 0,25 $$
7. Приведем уравнение к общему знаменателю:
8. $$ \frac{45}{x} - \frac{45}{x+3} = 0,25 $$
9. $$ \frac{45(x+3) - 45x}{x(x+3)} = 0,25 $$
10. $$ \frac{45x + 135 - 45x}{x^2 + 3x} = 0,25 $$
11. $$ \frac{135}{x^2 + 3x} = 0,25 $$
12. Решим полученное уравнение:
13. $$ 135 = 0,25(x^2 + 3x) $$
14. $$ 135 = 0,25x^2 + 0,75x $$
15. Умножим все на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:
16. $$ 540 = x^2 + 3x $$
17. $$ x^2 + 3x - 540 = 0 $$
18. Решим квадратное уравнение:
19. $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-540) = 9 + 2160 = 2169$$
20. $$√{D} = √{2169} = 46.576...$$ (округлим до 46.58, или можно заметить, что 45*45 = 2025, 46*46 = 2116, 47*47 = 2209. Ошибка в расчетах или в условии задачи. Проверим решение через другое условие: второй выехал через 30 мин, прибыл на 15 мин раньше. Значит, второй ехал на 30+15 = 45 минут быстрее. $$t_1 = t_2 + 0,75$$ ч, если 15 мин - это 0,25 ч. Или 45 минут = 0.75 часа. Тогда $$t_1 = t_2 + 0.75$$ ?)
21. Перепроверим условие: Второй велосипедист прибыл в пункт В на 15 мин раньше первого. Это значит, что разница во времени их движения составляет 15 минут.
22. $$t_1 - t_2 = 15$$ мин $$= 0.25$$ ч.
23. $$ \frac{45}{x} - \frac{45}{x+3} = 0.25 $$
24. $$ 45(x+3) - 45x = 0.25x(x+3) $$
25. $$ 45x + 135 - 45x = 0.25x^2 + 0.75x $$
26. $$ 135 = 0.25x^2 + 0.75x $$
27. $$ 0.25x^2 + 0.75x - 135 = 0 $$
28. Умножим на 4:
29. $$ x^2 + 3x - 540 = 0 $$
30. $$D = 3^2 - 4(1)(-540) = 9 + 2160 = 2169$$
31. $$√{D} = 46.57$$
32. $$x_1 = \frac{-3 + 46.57}{2} = \frac{43.57}{2} = 21.785$$
33. $$x_2 = \frac{-3 - 46.57}{2} = \frac{-49.57}{2} = -24.785$$ (скорость не может быть отрицательной)
34. Перечитаем условие. Второй велосипедист выехал через 30 мин (0.5 ч) вслед за первым. И прибыл на 15 мин (0.25 ч) раньше первого.
35. Значит, второй ехал меньше времени.
36. $$t_1 = rac{45}{x}$$
37. $$t_2 = rac{45}{x+3}$$
38. Разница во времени движения $$t_1 - t_2 = 15$$ мин $$= 0.25$$ ч.
39. $$t_1$$ = время первого, $$t_2$$ = время второго.
40. Второй выехал позже на 0.5 ч. Второй прибыл раньше на 0.25 ч.
41. Общая разница во времени: $$t_1 - t_2 = 0.5 ext{ ч} + 0.25 ext{ ч} = 0.75$$ ч.
42. $$ \frac{45}{x} - \frac{45}{x+3} = 0.75 $$
43. $$ \frac{45(x+3) - 45x}{x(x+3)} = 0.75 $$
44. $$ \frac{135}{x^2+3x} = 0.75 $$
45. $$ 135 = 0.75(x^2+3x) $$
46. $$ 135 = \frac{3}{4}(x^2+3x) $$
47. $$ 135 \cdot 4 = 3(x^2+3x) $$
48. $$ 540 = 3x^2 + 9x $$
49. $$ 3x^2 + 9x - 540 = 0 $$
50. Разделим на 3:
51. $$ x^2 + 3x - 180 = 0 $$
52. Решим квадратное уравнение:
53. $$D = 3^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729$$
54. $$√{D} = √{729} = 27$$
55. $$x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
56. $$x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$ (скорость не может быть отрицательной)
57. Значит, скорость первого велосипедиста $$v_1 = 12$$ км/ч.
58. Проверим:
59. $$v_1 = 12$$ км/ч
60. $$v_2 = 12 + 3 = 15$$ км/ч
61. $$t_1 = \frac{45}{12} = 3,75$$ ч
62. $$t_2 = \frac{45}{15} = 3$$ ч
63. Разница во времени движения: $$t_1 - t_2 = 3,75 - 3 = 0,75$$ ч $$= 45$$ мин.
64. Второй велосипедист выехал через 30 мин. Первый ехал 3,75 ч. Второй ехал 3 ч.
65. Первый стартовал в 0:00. Прибыл в 3:45.
66. Второй стартовал в 0:30. Прибыл в 3:30.
67. Второй прибыл на 15 мин раньше. Это совпадает с условием.

Ответ: Скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.