6. Шар радиуса 10 см пересечен плоскостью на расстоянии 7 см от центра. Вычислите площадь сечения.

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга \( r \) можно найти по теореме Пифагора, где гипотенузой является радиус шара \( R \), а катетами — расстояние от центра шара до плоскости \( d \) и радиус сечения \( r \).

\( R^2 = d^2 + r^2 \)

Дано: \( R = 10 \) см, \( d = 7 \) см.

\[ 10^2 = 7^2 + r^2 \]

\[ 100 = 49 + r^2 \]

\[ r^2 = 100 - 49 = 51 \]

Площадь сечения \( S \) равна площади круга с радиусом \( r \):

\[ S = \pi r^2 \]

\[ S = \(\pi\) \(\cdot\) 51 = 51\(\pi\) \)

Ответ: \( 51\pi \) см².