7. Решите неравенство 81^x - 9^x - 72 ≤ 0.

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 9^x \). Тогда \( 81^x = (9^2)^x = (9^x)^2 = y^2 \).

Неравенство примет вид:

\[ y^2 - y - 72 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - y - 72 = 0 \):

\[ y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-72)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2} \]

\[ y_1 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Получаем, что \( -8 \le y \le 9 \). Подставляем обратно \( y = 9^x \):

\[ -8 \le 9^x \le 9 \]

Неравенство \( 9^x \ge -8 \) выполняется для всех действительных \( x \), так как \( 9^x \) всегда положительно.

Рассматриваем \( 9^x \le 9 \).

\[ 9^x \le 9^1 \]

Так как основание степени \( 9 > 1 \), то:

\[ x \le 1 \]

Ответ: \( x \le 1 \).