8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -2x³ - 6x² + 5 на отрезке [-1;1].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = -6x^2 - 12x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -6x^2 - 12x = 0 \)

\[ -6x(x + 2) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).

3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок [-1; 1]. Точка \( x = -2 \) не входит в отрезок. Точка \( x = 0 \) входит в отрезок.
4. Вычислим значения функции в критической точке, попавшей в отрезок, и на концах отрезка:
• При \( x = -1 \): \( f(-1) = -2(-1)^3 - 6(-1)^2 + 5 = -2(-1) - 6(1) + 5 = 2 - 6 + 5 = 1 \)
• При \( x = 0 \): \( f(0) = -2(0)^3 - 6(0)^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5 \)
• При \( x = 1 \): \( f(1) = -2(1)^3 - 6(1)^2 + 5 = -2 - 6 + 5 = -3 \)
5. Сравним полученные значения: \( 1, 5, -3 \).

Наибольшее значение равно 5, наименьшее — -3.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 5, наименьшее — -3.